しろログ

フェルマーの最終定理を読んだ。

常々読みたいと思っていたのを、近くの図書館で見つけたので、ついに読めた。

本書はフェルマーの最終定理にまつわる数学史のドラマをつづったものである。

まずサイモン・シンの構成力、説得力には驚愕する。
これは単に数学に興味ある人だけの本ではない。
ロマンを求める全ての人にオススメできる。
涙がにじむほどの感激で、証明の瞬間を迎えるだろう。

大事なのは、どれだけ考え抜けるかです。(略)
その問題以外のことを考えてはいけない。
ただそれだけ考えるのです。それから集中を解く。
すると、ふっとリラックスした瞬間が訪れます。
そのとき潜在意識が働いて、新しい洞察が得られるのです。
- アンドリュー・ワイルズ

さて、問題のフェルマーの最終定理とは、以下のようなものだ。

xⁿ+yⁿ=zⁿ
この方程式はnが2より大きい場合には整数解をもたない。

よく知られたピタゴラスの定理は、nが2の時、つまり、
x²+y²=z²
である。(解の例：x=3、y=4、z=5)

ところが、このnが3以上になると解は無いというのである。

問題の意味は誰でも分かる。
しかし、これが証明されるまでに358年を費やしたのだ。

フェルマーは言った。

私はこの命題の真に驚くべき証明を持っているが、余白が狭すぎるのでここに記すことはできない。

そして、記すことの無いまま、世を去った。

これがどのようにして証明されたかは当然、本書を読んでいただきたいと思うが、
一応覚書として、背理法による証明の概略だけメモしておく。

・フェルマーの最終定理が間違いで、少なくとも一つの解が存在すると仮定する。
・解を持つとすると、この方程式は楕円方程式へ変換できる。
・谷村-志村予想により、全ての楕円方程式は、モジュラーでなければならない。
・しかるに、変換した方程式は、楕円方程式であるにも関わらずモジュラーでない。
・よって、フェルマーの最終定理に解が存在するという仮定は誤りであり、解が存在しないことが証明された。

また、本書を読んで、
あらゆる学問の中で最も美しいのはやはり数学かもしれないと思えた。

証明は、一分の隙も無いという意味で完全であり、絶対である。
つまりイデア的な美しさを目の前にできるのだ。

世の中に、「完全」とか「絶対」というのはそう多くない。

例えば、手に持ったボールを離したら、地面に落ちていく。
それは確かだし、恐らく地球上でその反例を見た者はいない。
ところが、それを証明するすべが無い。
「絶対に落ちる」とは言えない。

宇宙船で生まれ育った人に、
「ボールを離したら、地面に落ちていく」
ことを理解してもらえるだろうか。

数学は理解してもらえるのである。

疑問の余地が一切無い「証明」という行為ができるのは
ただ数学だけであるという点で、数学は美しいのである。

「不滅」とは愚かしい言葉かもしれないが、それが意味するものになる可能性は、たぶん数学者がいちばん高い。
G・H・ハーディ

唯一の疑問は、フェルマーが当時の数学テクニックでこの定理を証明できていたのか、ということ。
もちろんフェルマーの頭の中だけのテクニックもあったかもしれないが、
証明できていたとすれば、ワイルズのそれよりも、
もっとエレガントな解法だったりするのではないかと思ったりもする。

オススメ度★★★★★

関連記事：
チャールズ・サイフェ - 異端の数ゼロ - 数学・物理学が恐れるもっとも危険な概念
吉永良正 - ゲーデル・不完全性定理―”理性の限界”の発見

異端の数ゼロを読んだ。

0と、0と共にある無限による、数学・物理・哲学の歴史が紹介されています。

先日紹介した「地球が丸くないことの数学的証明」は、本書から一部引用したものです。

あの証明は明らかに結論が間違っているのですが、
どこがまずいのかと言うと、

(a+b)(a-b)=a(a-b)

が出てきた後、

両辺を(a-b)で割る。

としてしまったことです。
aとbは1としてありましたから、a-bは0です。
両辺を0で割ってしまったために、有は無である、という結論が導き出されてしまいました。

数字でありながら、他とは明らかに違う性質を持つ0。
この0と無限を克服する理論を作り上げては、また0と無限が現れ、さらに克服する理論を・・・
という流れが見えてきます。
科学の歴史は0と無限を克服してきた歴史のようです。

0と無限が結びつく面白い例があります。

■有理数の大きさは0！？

まず、数には有理数(割り切れる数)と無理数(円周率のようにどこまでも続く数)があります。
どちらも無限にあるのですが、その集合の大きさは、
無理数よりも有理数のほうが小さいことがわかっています。

では、有理数はどのくらいの大きさなのでしょうか。

これを風呂敷の大きさで考えてみましょう。

有理数は無限にあるのですが、
手始めに、3という有理数を考えて、これを包み込む風呂敷を考えます。
とりあえず3を挟んだ数、2.5～3.5という大きさが1の風呂敷なら包めそうです。

さて、次の有理数にとりかかりましょう。
例えば4も有理数ですね。
では、これを3.75～4.25という大きさが0.5の風呂敷で包みます。

先ほどは1の大きさでしたが、今度は0.5です。次は0.25の大きさで包みます。
この手順を無限に繰り返します。

1+0.5+0.25+0.125+…

これを無限に繰り返した場合の極限値は2になります。
つまり、有理数の大きさは2程度ということになります。
割と小さそうですね。

ところで、さっきは大きさが1の風呂敷から始めましたが、
別に大きさ0.5の風呂敷から初めてもよさそうですね。

そうすると、0.5+0.25+0.125+…
今度はせいぜい1くらいの大きさです。

次は0.25の大きさから初めて…

と、これを極限まで繰り返すと、なんと無限にある有理数の占める大きさは0になります。

■無限の和

次はもっと分かりやすい無限が0にも1にもなる話。

1-1+1-1+1-1+1-1+…(以降無限に続く)

この式の答えは何か。

(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…

こう考えれば0+0+0+0+…となり、明らかに0に見えます。
ところが、

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…

と考えた場合、1+0+0+0+…となり、今度は明らかに1となります。

などなど、面白い話が随所に現れます。
このような本では、いつもその想像力・創造力に驚かされます。

オススメ度★★★

aとbがそれぞれ1に等しいとする。aとbは等しいから、

b² = ab (等式1)

aはそれ自身に等しいから、

a² = a² (等式2)

等式2から等式1を引くと、

a²-b² = a²-ab

この等式を因数分解する。

(a+b)(a-b)=a(a-b)

両辺を(a-b)で割る。

a + b = a

両辺からaを引く。

b = 0

冒頭の設定により、b = 1

よって、

1 = 0

ところで、地球は丸い。
従って、地球は丸くない。

証明終わり。

→どこが変なのか

ゲーデル・不完全性定理―”理性の限界”の発見を読んだ。

BLUE BACKSは一般人向けに学問・技術を解説してくれるシリーズとして有名ですが、本書も「中学生にも分かる」というだけあって、読みやすいものでした。

内容は主に、数学と論理学に関することで、
個人的には得意な分野ではありません(笑)

それでも、理系学問の面白いところは、アイデアにあふれてるという所です。
特に哲学、数学、物理学などの論理の部分は誰でも分かるアイデアが色々とあるように思います。

例えば、本書だけでも、
「無限を数えるにはどうすれば良いか」
「線分と平面を埋め尽くす点の濃度が等しいことの証明」
「無限個の部屋に無限人の客がやってきて満室になってしまったホテルに
　さらに無限人の客を泊める方法」
など、思わず身を乗り出したくなる(?)アイデアがあります。

下手に数学を一から理解しよう、と思わず、
「小説でも読むように」(本書より)読んでみるのが良さそうです。

オススメ度★★★

おもしろげなリンク
プログラマのための「ゲーデルの不完全性定理」