しろログ

異端の数ゼロを読んだ。

0と、0と共にある無限による、数学・物理・哲学の歴史が紹介されています。

先日紹介した「地球が丸くないことの数学的証明」は、本書から一部引用したものです。

あの証明は明らかに結論が間違っているのですが、
どこがまずいのかと言うと、

(a+b)(a-b)=a(a-b)

が出てきた後、

両辺を(a-b)で割る。

としてしまったことです。
aとbは1としてありましたから、a-bは0です。
両辺を0で割ってしまったために、有は無である、という結論が導き出されてしまいました。

数字でありながら、他とは明らかに違う性質を持つ0。
この0と無限を克服する理論を作り上げては、また0と無限が現れ、さらに克服する理論を・・・
という流れが見えてきます。
科学の歴史は0と無限を克服してきた歴史のようです。

0と無限が結びつく面白い例があります。

■有理数の大きさは0！？

まず、数には有理数(割り切れる数)と無理数(円周率のようにどこまでも続く数)があります。
どちらも無限にあるのですが、その集合の大きさは、
無理数よりも有理数のほうが小さいことがわかっています。

では、有理数はどのくらいの大きさなのでしょうか。

これを風呂敷の大きさで考えてみましょう。

有理数は無限にあるのですが、
手始めに、3という有理数を考えて、これを包み込む風呂敷を考えます。
とりあえず3を挟んだ数、2.5～3.5という大きさが1の風呂敷なら包めそうです。

さて、次の有理数にとりかかりましょう。
例えば4も有理数ですね。
では、これを3.75～4.25という大きさが0.5の風呂敷で包みます。

先ほどは1の大きさでしたが、今度は0.5です。次は0.25の大きさで包みます。
この手順を無限に繰り返します。

1+0.5+0.25+0.125+…

これを無限に繰り返した場合の極限値は2になります。
つまり、有理数の大きさは2程度ということになります。
割と小さそうですね。

ところで、さっきは大きさが1の風呂敷から始めましたが、
別に大きさ0.5の風呂敷から初めてもよさそうですね。

そうすると、0.5+0.25+0.125+…
今度はせいぜい1くらいの大きさです。

次は0.25の大きさから初めて…

と、これを極限まで繰り返すと、なんと無限にある有理数の占める大きさは0になります。

■無限の和

次はもっと分かりやすい無限が0にも1にもなる話。

1-1+1-1+1-1+1-1+…(以降無限に続く)

この式の答えは何か。

(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…

こう考えれば0+0+0+0+…となり、明らかに0に見えます。
ところが、

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…

と考えた場合、1+0+0+0+…となり、今度は明らかに1となります。

などなど、面白い話が随所に現れます。
このような本では、いつもその想像力・創造力に驚かされます。

オススメ度★★★

aとbがそれぞれ1に等しいとする。aとbは等しいから、

b² = ab (等式1)

aはそれ自身に等しいから、

a² = a² (等式2)

等式2から等式1を引くと、

a²-b² = a²-ab

この等式を因数分解する。

(a+b)(a-b)=a(a-b)

両辺を(a-b)で割る。

a + b = a

両辺からaを引く。

b = 0

冒頭の設定により、b = 1

よって、

1 = 0

ところで、地球は丸い。
従って、地球は丸くない。

証明終わり。

→どこが変なのか

「さあ、買った買った、何でも突き通す鋭い矛だよ！」
「さあ、買った買った、何を使っても貫けない堅い盾だよ！」
「あなたの矛であなたの盾を突くと、どうなるのですか」
「いいところに気がついた！　すごいことになるんだよ、それ！　そこが売り物なんだ、兄ちゃん。さあ、今すぐ買って試してみよう！　セットで買えばなおお得！」

「矛盾」を弁護するへりくつ集

楚の人を弁護してみようというもの。
レトリック、法律、あたりが面白い。

このように明らかに詭弁であることが前もって分かっていれば面白いのですが、
実際自分に降りかかってくると、次の日に詭弁と気づいて地団駄踏むことになりますね。